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矩阵的和的和

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POJ 2010.1月赛的C题,感觉挺经典的

我知道求矩阵的和构造

A I

0 I就可以解决,于是YY了一下求矩阵的和的和

发现一些性质。画了草图,直接看图就能明白了~

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网络流的几个常见算法

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最近研究了一下网络流.最常见的几个算法有下边几种
一:增广路算法
在残余网络中不断的找增广路

  1. Ford-Fulkerson
  2. 很不幸,这是一个用dfs找任意增广路的算法.时间复杂度无从估计

  3. Edmonds-Karp
  4. 用bfs代替了dfs寻找增广路,悲观的时间复杂度是O(VE2)

  5. Dinic
  6. 据说和SAP很像,还没研究,O(V2E)

  7. Shortest Augmenting Paths(也就是很流行的SAP算法)
  8. 故名思议,就是找最短的增广路,把EK算法的O(E)时间优化到了O(V),故复杂度为O(V2E)
    不过加了间隙优化后效率和Dinic不可同日而语

二:预留推进算法
非常形象的灌水机制,一开始源点在最高,向各个管道灌水,如果一个点有盈余,那么它必需往低处流(Push),不能留的话上升高度(Relabel)后再往低处流

  1. Push_Relabel
  2. 很朴实的预留推进算法,O(V4)

  3. Relabel_to_Front
  4. 用一个List维护各个点,当一个点被relabel后回到List首部(to front)再往后计算,O(V3)

  5. Highest_Relabel(不知道这是不是传说中的HLPP算法–Highest_Label_Preflow_PushO(V2E1/2))
  6. Relabel_to_Front的改进版,List分层从最高的点开始流,并且加上BFS预处理和间隙优化后效率会有不可思议的提高

据说还有一些复杂度非常奇怪的算法:VElogE/(V/logV)(V)、min(V2/3,E1/2)Elg(V2/E+2)lgC…..
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RMQ and LCA

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RMQ (Range Minimum/Maximum Query) and LCA(Lowest Common Ancestor)
学后缀数组的时候遇到这个问题,不会,特地去找了资料…
发现农夫三拳的一篇强大翻译阐述了LCA和RMQ的关系,还有郭华阳 《RMQ与LCA问题》
区间最值问题,强大就强大在O(1)的询问
寻思着kth number能否由这个变形得到?
其他也没啥好探讨的…
献上模板和题目
3264 Balanced Lineup 一维RMQ

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#define M 50001
int val[M];
int Max[20][M];
int Min[20][M];
int idx[M];
void initRMQ(int n) {
	idx[0] = -1;
	for(int i = 1; i <= n ; i ++) {
		idx[i] = (i&(i-1)) ? idx[i-1] : idx[i-1] + 1;
		Min[0][i] = Max[0][i] = val[i];
	}
	for(int i = 1; i <= idx[n] ; i ++) {
		int limit = n + 1 - (1<<i);
		for(int j = 1; j <= limit ; j ++) {
			Min[i][j] = min(Min[i-1][j] , Min[i-1][j+(1<<i>>1)]);
			Max[i][j] = max(Max[i-1][j] , Max[i-1][j+(1<<i>>1)]);
		}
	}
}
int getval(int a,int b) {
	int t = idx[b-a+1];
	b -= (1<<t) - 1;
	return max(Max[t][a] , Max[t][b]) - min(Min[t][a] , Min[t][b]);//返回最大值减最小值
}
int main() {
	int n , m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i = 1; i <= n ; i ++) {//下标要从1开始
		SS(val[i]);
	}
	initRMQ(n);
	while(m --) {
		int a , b ;
		scanf("%d%d",&a,&b);
		printf("%d\n",getval(a,b));
	}
	return 0;
}

.
hdu2888 Check Corners 二维RMQ

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//复杂度n*m*log(n)*log(m)
#define M 301
int val[M][M];
int Max[9][9][M][M];
int idx[M];
 
void initRMQ(int n , int m) {
	for(int i = 1; i <= n ; i ++) {
		for(int j = 1 ; j <= m ; j ++) {
			Max[0][0][i][j] = val[i][j];
		}
	}
	for(int i = 0; i <= idx[n] ; i ++) {
		int limit1 = n + 1 - (1<<i);
		for(int j = 0 ; j <= idx[m] ; j ++) {
			if(!i && !j)	continue;
			int limit2 = m + 1 - (1<<j);
			for(int ii = 1; ii <= limit1 ; ii ++) {
				for(int jj = 1; jj <= limit2 ; jj ++) {
					if(i)	Max[i][j][ii][jj] = max( Max[i-1][j][ii+(1<<i>>1)][jj] , Max[i-1][j][ii][jj] );
					else	Max[i][j][ii][jj] = max( Max[i][j-1][ii][jj] , Max[i][j-1][ii][jj+(1<<j>>1)] );
				}
			}
		}
	}
}
int query(int a,int b,int c,int d) {
	int n = idx[c-a+1]	,	m = idx[d-b+1];
	c -= (1<<n) - 1;		d -= (1<<m) - 1;
	return max(max(Max[n][m][a][b],Max[n][m][a][d]),max(Max[n][m][c][b],Max[n][m][c][d]));
}
int main() {
	idx[0] = -1;
	for(int i = 1; i <= 300 ; i ++) {
		idx[i] = (i&(i-1)) ? idx[i-1] : idx[i-1] + 1;//放在外边计算
	}
	int n , m , Q;
	while(~scanf("%d%d",&n,&m)) {
		for(int i = 1; i <= n ; i ++) {
			for(int j = 1; j <= m ; j ++) {
				SS(val[i][j]);
			}
		}
		initRMQ(n,m);
		SS(Q);
		while(Q --) {
			int a,b,c,d;
			scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
			if(a > c) swap(a,c);
			if(b > d) swap(b,d);
			int key = query(a,b,c,d);
			printf("%d ",key);
			if(key == val[a][b] || key == val[a][d] || key == val[c][b] || key == val[c][d]) {
				puts("yes");
			} else {
				puts("no");
			}
		}
	}
}

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后缀数组

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今天拜读了罗穗骞的神作《后缀数组——处理字符串的有力工具》
这篇主要是模板以及应用,还有一篇许智磊的《后缀数组》主要讲概念和证明
两者结合疗效好- -

刚刚开始做的时候觉得不过尔尔,模板题而已
但越做到后边PKU3693越发觉有趣,非常巧妙的统计,随便把RMQ也学了

跟着论文做了几道题目,但还不知道以后出现后缀数组的题能不能解出来,呵呵
刷题途中发现3xian总是排第一—-无限崇拜并馋涎其模板,发现他的最大流,(kth number)图灵树,后缀树模板极其的高效
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最小费用最大流

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同最大流
原理就是一直找最小费用的路径增广
用spfa O(V*E)*f实现
还有一个O(V*V)*f的算法,用Johnson重标号技术把所有边变成正权, 以后每次增广后进行维护,但是编程复杂度太大- -,不太实用
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最小树形图

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其实就是有向的最小生成树
写了一个下午,因为不想写矩阵,V*V的空间不适用V大的题目,所以改来改去,改成存边的形式,其实想想存边的复杂度也是O(VE),图大的话也是需要挺高复杂度的,而且矩阵虽然说是O(V3),但是有很多地方continue的,所以一般矩阵形式也就够用了- -
算法说白了比较简单,分三步,如下:

  1. 每个点找其最小的入边In[v] ? 如果有除跟节点以外的点找不到入边,则无解 : 否则答案累加In[v]
  2. 看看有没有环 ? 无环则已经找到解,返回答案 : 将环缩点
  3. 重新构图,每条边[u->v]的权值减去In[v],然后重复第一步

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有向图的强连通

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强连通缩点
其法有三:Kosaraju,Trajan,Gabow
Kosaraju时间稍慢,需要建反边+两次dfs,但是第二次dfs的时候就可以顺便把新图建出来
Gabow算法两个栈比较恶心,效率最高,比Trajan少了一些更新low数组的过程
三者代码量相差无几,60上下
个人感觉还是Trajan最实用,而且low的计算和割边割点还有联系

我觉得HDU2767这题可以来试强连通分量模板
题目大意是给你一个有向图,问你至少加几条边让整个图变成强连通
解法:缩点后统计没有出度的和没有入度的点个个数,两者取最大值

同时推荐byvoid的网站
BYV大牛的tarjan算法介绍,写的非常详细

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第k元素log(n)算法–划分树

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前几天学线段树,这个经典的K-th number一直没有做,关键是听别人说复杂度是log(n)^3,我对这个需要两次二分+一次查找的算法非常的不爽,于是一直拖着没搞
今天正准备着手这题的时候,发现PKU的Disscuss有人提到log(n)的算法,而且编程复杂度比log(n)^3的还小,于是对这种算法充满了憧憬,那个log(n)^3的写到一半也放弃了(其实log(n)^3的归并树算法化简了之后就是求n个有序数列的第k大数)
YY了很久之后,得到下边这个代码..关键部分已经很明白的加了的注释
完全看明白之后会发现一个非常有趣的现象,划分树逆着做就变成了归并树
(其实我也不知道这是不是hyerty大神所说的划分树,乱YY的)
画了一颗划分树对数列[1 5 2 3 6 4 7 3 0 0]进行划分,下图有助于理解(红色表示该数被分到左儿子)

划分树

划分树


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